Contoh Soal dan Pembahasan Supremum dan Infimum

Selamat datang di blog sabarya.com http://www.sabarya.com/, Anda sedang membaca postingan yang berjudul "Contoh Soal dan Pembahasan Supremum dan Infimum", dan jika anda beruntung, kemungkinan ada link download pada setiap postingan yang ada di blog ini, jika data yang anda cari tidak ada, silahkan cari di kotak pencarian di atas postingan, dan atau di bawah postingan (untuk view handphone dan atau smartphone). Nah untuk view destop atau PC atau laptop kotak pencarian ada di atas postingan dan samping kanan atas (sidebar) blog ini. oke deh.. selamat menikmati

Admin sabarya.com

Admin sabarya.com menyampaikan terimakasih atas kunjungan anda, jangan sungkan untuk berbagi, Anda masih membaca postingan yang berjudul "Contoh Soal dan Pembahasan Supremum dan Infimum" jika anda beruntung, akan anda link download ditiap-tiap postingan pada blog sabarya.com. semoga bermanfaat...

Contoh Soal dan Pembahasan Supremum dan Infimum

contoh soal dan pembahasan supremum dan infimum,supremum infimum pdf,supremum and infimum problems and solutions,contoh soal supremum dan infimum pada analisis real,perbedaan supremum dan maksimum,contoh soal analisis real dan penyelesaiannya,pembuktian teorema analisis real 1,artikel pembuktian analisis real,pembahasan soal analisis real bartle

Contoh Soal dan Pembahasan Supremum dan Infimum

Contoh Soal dan Pembahasan Supremum dan Infimum

SUPREMUM DAN INFIMUM
Dalam meninjau masalah kelengkapan dalam suatu hubungan dengan bilangan yang riil tentunya tidak jauh dari statemen, Yang tiap-tiap statmen tersebut mempunyai suatu batasan. Ini akan berlaku jika setiap batasan mempunyai anggota dan bisa dipercaya agar mengahasilkan angka-angka yang konfleks dan diberikan subset. Perbadingan bukan dalam urutan. Misalnya ada sejumlah tempat tentang suatu pemusatan, untuk rangkaian dari hasil tersebut dapat dianalisa dalam bentuk supremum dan infimum.
Baca Juga: Batas Atas Terkecil (Supremum) dan Kelengkapan

Supremum dan Infimum

TUGAS
ANALISIS REAL
OLEH
KELOMPOK V
KELAS VI A MATEMATIKA
ANGGOTA :
1. ADESUHANDI                            (06 221 008)
2. ABDUSSALIM                            (06 221 006)
3. WAN SYAFRADINATA        (07 221 299)
4. WIWIN WIDIARTI                 (07 221 303)
5. BQ.EMY JUNI HERLIANI (06 221 032)
6. EKA NUR AZIZAH                   (07 221 072)
7. HARY KUSNADI                       (07 221 109)
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU
PENGETAHUAN ALAM
IKIP MATARAM
2009
Dalam hal ini, kami akan memperkanalkan suatu konsep tentang batas atas dan batas bawah dari suatu himpunan bilangan real.
DEFINISI 1 :
Misalnya diberikan subset tak kosong SR.
1. Himpunan S dikatakan terbatas ke atas (bounded above) jika terdapat suatu bilangan uR sedemikian hingga su untuk semua sS. Setiap bilangan u seperti ini disebut dengan batas atas (upper bound) dari S.
2. Himpunan S dikatakan terbatas ke bawah (bounded beow) jika terdapat suatu bilangan wR sedemikian hingga ws untuk semua sS. Setiap bilangan w seperti ini disebut dengan batas bawah (Lower bound) dari S.
3. Suatu himpunan dikatakan terbatas (bounded) jika terbatas ke atas dan terbatas ke bawah. Jika tidak, maka dikatakan tidak terbatas (unbounded).
Dengan kata lain, terbatas ke atas atau batas atas suatu himpunan adalah bilangan yang lebih besar atau sama dengan dari semua unsur di himpunan tersebut. Sedangkanterbatas ke bawah atau batas bawah suatu himpunan adalah bilangan yang lebih kecil atau sama dengan dari semua unsur di himpunan tersebut.
Contoh :
Apakah himpunan S={xR:x<2} terbatas ke atas, terbatas ke bawah atau tidak terbatas?
Jawab :
S={xR:x<2}
S={….,-1,0,1}
Jadi himpunan S={xR:x<2} terbatas ke atas sebab bilangan 2 dan sembarangan bilangan lebih dari 2 yaitu 3,4.5, dan seterusnya merupakan batas atas dari S. Himpunan S tidak mempunyai batas bawah atau tidak terbatas ke bawah. Dehingga dapat di simpulkan bahwa himpunan S merupakan himpunan yang tidak terbatas.
DEFINISI 2 :
Misalnya diberikan S subset tak kosong R.
1. Jika S terbatas ke atas, maka suatu bilangan u disebut supremum (batas atas terkecil) dari S jika memenuhi suatu kondisi berikut :
   1. u merupakan batas atas S
   2. Jika v adalah sembarang batas atas S, maka uv.
Atau dapat ditulis u=supremum S.
1. Jika S terbatas ke bawah, maka suatu bilangan u disebut infimum (batas bawah terbesar) dari S jika memenuhi suatu kondisi berikut :
   1. w merupakan batas bawah S
   2. Jika t adalah sembarang batas bawah S, maka tw.
Atau dapat ditulis w=infimum S.
Contoh :
Tentukan batas atas, batas bawah, supremum dan infimum dari himpunan A={5,6,7,8,9,10} !
Jawab :
A={5,6,7,8,9,10}
Batas Atas= 10,11,12,13,….
Batas Bawah= 5,4,3,2,1,0,-1,….
Supremum= 10
Infimum= 5
Agar kita lebih mudah memahaminya, maka kita gunakan sebuah konsep pemahaman yaitu jika diberikan suatu himpunan S subset dari R, maka hanya terdapat satu supremum atau supremumnya tunggal. Juga dapat ditunjukan bahwa jika u adalah sembarang batas atas dari suatu himpunan tak kosong S, maka Su, sebab supemum S merupakan batas atas terkecil dari S.
Baca Juga : Analisis Real I – jebidal.com
Suatu subset tak kosong SR mempunyai emat kemungkinan yaitu :
1. Mempunyai supremum dan infimum,
2. Hanya mempunyai supremum,
3. Hanya mempunyai infimum,
4. Tidak mempunyai infimum dan supremum.
Setiap bilangan real aR merupakan batas atas dan sekaigus juga merupakan batas bawah himpunan kosong Ø. Jadi himpunan Ø tidak mempunyai supremum dan infimum.
DEFINISI 3 :
Suatu bilangan u merupakan supremum dari subset tak kosong SR jika dan hanya jika u memenuhi suatu kondisi berikut :
1. s  u untuk semua sS,
2. jika v < u, maka terdapat s^’S sedemikian hingga x<s^’.
DEFINISI 4 :
Diberikan subset tak kosong SR,
u = sup S jika dan hanya jika untuk setiap >0 terdapat s₁sedemikian hingga  < s₁. Hal ini dapat dibuktikan bahwa jika diketahui u = sup S dan diberikan  > 0 . Karena u - < u , makau- bukan merupakan batas atas S. Oleh karena itu, terdapat s₁S yang lebih besar dari u -.sehingga u - < s₁. Jika diketahui u - < s₁ dan Jika u merupakan batas atas S, dan memenuhi
v < u , maka diambil  := u – v . Maka jelas  > 0 , dan diperoleh bahwa u = sup S .
Contoh :
(a).   Jika suatu himpunan tak kosong S₁ mempunyai elemen sebanyak berhingga, maka dapat dilihat bahwa S₁mempunyai elemen terbesar, namakan u, dan elemen terkecil, namakan w. Maka u = sup S₁ dan w = inf S₁ , dan keduanya merupakan elemen S1 .
(b).   Himpunan S₂:= mempunyai batas atas 1. Akan dibuktikan bahwa 1 merupakan supremumnya. Jika v <1, maka terdapats‘S₂ sedemikian hingga v < s‘. Oleh karena itu, v bukan merupakan batas atas S₂ dan karena v merupakan sebarangv<1, maka dapat disimpulkan bahwa sup S₂=1. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa inf S₂= 0.
Sifat Lengkap R
Akan ditunjukkan bahwa subset tak kosong R yang terbatas ke atas pasti mempunyai batas atas terkecil. Sifat seperti ini disebut Sifat Lengkap R . Sifat Lengkap juga sering disebut dengan Aksioma Supremum R .
DEFINISI 5 :
Jika subset tak kosong SR terbatas ke atas, maka
supremumnya ada, yaitu terdapat uR sedemikian hingga u = sup S .
DEFINISI 6 :
Jika subset tak kosong SR terbatas ke bawah, maka infimumnya
ada, yaitu terdapat wR sedemikian hingga w = inf S .
Bukti.
Misalkan himpunan T terbatas ke bawah, TR. Dibentuk himpunan
S =, maka S terbatas ke atas dan tidak kosong. Menurut Aksioma
Supremum, sup S ada, dan dinamakan u = sup S , maka -u= inf T.
Penggunaan Sifat Aksioma Supremum
Pada subbab ini,kami akan membahas beberapa akibat dari aksioma supremum.
DEFINISI 1 :
Diberikan subset tak kosong SR yang terbatas ke atas dan
sebarang aR. Didefinisikan himpunan a + S := , maka berlaku
sup(a + S ) = a + sup(S ) .
Bukti.
Jika diberikan u := sup S , maka xu untuk semua xS , sehingga
a + xa + u . Oleh karena itu, a + u merupakan batas atas dari himpunan a + S .
Akibatnya sup(a + S )a + u . Selanjutnya, misalkan v adalah sebarang batas atas a + S , maka a + xv untuk semua xS . Akibatnya xv – a untuk semua xS ,sehingga v – a merupakan batas atas S. Oleh karena itu, u = sup Sv–a . Karena vadalah sebarang batas atas a + S , maka dengan mengganti vdengan u = sup S ,
diperoleh a + usup(a + S ). Di lain pihak diketahui sup(a + S ) a+ u . Akibatnyaterbukti bahwa sup(a + S ) = a + u = a + sup S.
DEFINISI 2 :
Diberikan subset tak kosong SR yang terbatas dan sebarang
bilangan real a > 0 . Didefinisikan himpunan aS := {as :sS}, maka berlaku
inf (aS ) = a inf (S ) .
Bukti.
Tulis u = inf aS dan v = inf S . Akan dibuktikan bahwa u = av . Karena
u = inf aS , maka uas , untuk setiap sS . Karena v = inf S , makavs untuk
setiap sS . Akibatnya avas untuk setiap sS . Berarti avmerupakan batas bawah aS. Karena u batas bawah terbesaraS, maka avu . Karena uas untuk setiap sS ,
maka diperoleh
^u/_a s untuk setiap sS (sebab a > 0 ). Karena v = inf S , maka
^u/_a v yang berakibat u av . Di lain pihak diketahui av u . Akibatnya u = av . Jadi, terbuktibahwa inf (aS ) = a inf (S ) .
DEFINISI 3 :
Jika A dan B subset tak kosong R dan memenuhi ab untuk semua aA dan bB , maka
sup A inf B .
Baca Juga : analisis real – jebidal.com
Bukti.
Diambil sebarang bB , maka ab untuk semua aA . Artinya bahwa b
merupakan batas atas A, sehingga sup Ab . Selanjutnya, karena berlaku untuk semua bB , maka sup A merupakan batas bawah B. Akibatnya diperoleh bahwa sup Ainf B.

analisa real,semester 3,umsu

BAB I
PENDAHULUAN
1. Latar Belakang
Hasil-hasil penelitian tentang pembelajaran Matematika murni menunjukkan bahwa Analisa Real merupakan mata kuliah yang sulit untuk diajarkan. Ada dua alsan mengapa Mahasiswa mengalami kesulitan dalam belajar Matematika murni. Pertama karena struktur dari konsep-konsep tidak dikenali dengan baik oleh Mahasiswa. Kedua banyak Mahasiswa yang belum nyaman dengan bukti atau pembuktian dan metode Aksiomatik. Pola pengajaran yang ada menurut Mahasiswa berpikir induktif dan deduktif yang hanya dapat dilakukan melalui aktivitas, diskusi kelas, dan latihan. Jika dianalisis lebih mendalam, bahwa hamper semua sikap positif yang terkandung dalam istilah Matematika adalah sama halnya dengan keterampilan.
1. Rumusan Masalah
• Menjelaskan sifat kelengkapan pada R ?
• Penggunaan sifat aksioma supremum ?
• Menjelaskan sifat Archimedes ?
• Eksistensi Bilangan Real dan Densitas Bilangan Rasional di R ?
1. Tujuan
Tujuan dalam membahas sifat kelengkapan pada R ini yaitu agar dapat menganalisis dan memahami bagaimana dan apa saja yang termasuk sifat kelengkapan pada R ini. Sehingga dapat menjawab soal-soal sesuai dengan teorema yang berlaku
BAB II 
PEMBAHASAN
2.4 Sifat kelengkapan pada bilangan ℝeal
Pada bagian ini akan diberikan salah satu sifat dari ℝ yang sering disebut dengan Sifat Lengkap (Completeness Property). Tetapi sebelumnya, perlu dijelaskan terlebih dahulu konsep supremum dan infimum.
Baca Juga : Kriteria Cauchy Analisis Real – jebidal.com
1. a) Supremum dan Infimum
Berikut ini diperkenalkan konsep tentang batas atas dan batas bawah dari suatu himpunan bilangan real.
Definisi 2.4.1. Diberikan subset tak kosong S Ì ℝ .
1. a) Himpunan S dikatakan terbatas ke atas (bounded above) jika terdapat suatu bilangan uÎℝ sedemikian hingga s £ u untuk semua sÎS . Setiap bilangan u seperti ini disebut dengan batas atas (upper bound) dari S.
2. b) Himpunan S dikatakan terbatas ke bawah (bounded below) jika terdapat suatu bilangan wÎℝ sedemikian hingga w £ s untuk semua sÎS . Setiap bilangan w seperti ini disebut dengan batas bawah (lower bound) dari S.
3. c) Suatu himpunan dikatakan terbatas (bounded) jika terbatas ke atas dan terbatas ke bawah. Jika tidak, maka dikatakan tidak terbatas (unbounded).
Sebagai contoh, himpunan S := {xÎℝ: x < 2} ini terbatas ke atas, sebab bilangan 2 dan sebarang bilangan lebih dari 2 merupakan batas atas dari S. Himpunanini tidak mempunyai batas bawah, jadi himpunan ini tidak terbatas ke bawah. Jadi, Smerupakan himpunan yang tidak terbatas.
Definisi 2.4.2. Diberikan S subset tak kosong ℝ .
1. Jika S terbatas ke atas, maka suatu bilangan u disebut supremum (batas atas terkecil) dari S jika memenuhi kondisi berikut:
• u merupakan batas atas S, dan
• jika v adalah sebarang batas atas S, maka u £ v . Ditulis u = sup S .
1. Jika S terbatas ke bawah, maka suatu bilangan u disebut infimum (batas bawah terbesar) dari S jika memenuhi kondisi berikut: w merupakan batas bawah S, dan jikat adalah sebarang batas bawah S, maka t £ w. Ditulis w = inf S
Mudah untuk dilihat bahwa jika diberikan suatu himpunan S subset dari ℝ , maka hanya terdapat satu supremum, atau supremumnya tunggal. Juga dapat ditunjukkan bahwa jika u ‘ adalah sebarang batas atas dari suatu himpunan tak kosong S, maka sup S £ u ‘ , sebab sup S merupakan batas atas terkecil dari S. Suatu subset tak kosong S Ì ℝ mempunyai empat kemungkinan, yaitu
(i) mempunyai supremum dan infimum,
(ii) hanya mempunyai supremum,
(iii) hanya mempunyai infimum,
(iv) tidak mempunyai infimum dan supremum.
bilangan real aÎℝ merupakan batas atas dan sekaligus juga merupakan batas bawah himpunan kosong Æ. Jadi, himpunan Æ tidak mempunyai supremum dan infimum.
2.4.3 Lemma  Suatu bilangan u merupakan supremum dari subset tak kosong S Ì ℝjika dan hanya jika u memenuhi kondisi berikut:
(1) s £ u untuk semua sÎS ,
(2) jika v < u , maka terdapat s ‘ÎS sedemikian hingga x < s ‘ .
Lemma 2.4.4. Diberikan subset tak kosong S Ì ℝ ,
(a) u = sup S jika dan hanya jika untuk setiap e > 0 terdapat  s1 ÎS sedemikian hingga u-e < s1.
(b) w = inf S jika dan hanya jika untuk setiap e > 0 terdapat s2 ÎS sedemikian hingga u – e < s2
Buskti.
(a) ÞDiketahui u = sup S dan diberikan e > 0 . Karena u – e < u , maka u – e bukan merupakan batas atas S. Oleh karena itu, terdapat s1 ÎS yang lebih besar dari u – e , sehingga  u1– e < s1 .
Ü Diketahui u – e < s1 . Jika u merupakan batas atas S, dan jika memenuhi v < u , maka diambil e := u – v . Maka jelas e > 0 , dan diperoleh bahwa u = sup S
(c) Jika suatu himpunan tak kosong S1 mempunyai elemen sebanyak berhingga, maka dapat dilihat bahwa S1 mempunyai elemen terbesar, namakan u, dan elemen terkecil, namakan w. Maka u = sup S1 dan  w = inf S1 , dan keduanya merupakan elemen S1 .
(d) Himpunan S2 :={ x : 0 £ x £1} mempunyai batas atas 1. Akan dibuktikan bahwa 1 merupakan supremumnya. Jika v <1, maka terdapat s ‘ÎS2 sedemikian hingga v < s‘ . Oleh karena itu, v bukan merupakan batas atas  S2 dan karena v merupakan sebarang v <1, maka dapat disimpulkan bahwa sup S2 = 1. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa  inf S2 = 0 .
Baca Juga : Barisan Divergen Sejati – jebidal.com
Sifat Lengkap ℝ
Akan ditunjukkan bahwa subset tak kosong ℝ yang terbatas ke atas pasti mempunyai batas atas terkecil. Sifat seperti ini disebut Sifat Lengkap ℝ . Sifat Lengkap juga sering disebut dengan Aksioma Supremum ℝ .
Jika subset tak kosong S Ì ℝ terbatas ke atas, maka supremumnya ada, yaitu terdapat uÎℝ sedemikian hingga u = sup S .
Teorema 2.4.5 Jika subset tak kosong S Ì ℝ terbatas ke bawah, maka infimumnya ada, yaitu terdapat wÎℝ sedemikian hingga w = inf S .
Bukti. Misalkan himpunan T terbatas ke bawah, T Ì ℝ. Dibentuk himpunan S = {-t :t ÎT} , maka S terbatas ke atas dan tidak kosong. Menurut Aksioma Supremum, supS ada, namakan u = sup S , maka –u = inf T .
Penggunaan Sifat Aksioma Supremum
Pada subbab ini dibahas beberapa akibat dari aksioma supremum.
Teorema 2.4.6.
1. a) Diberikan subset tak kosong S Ì ℝ yang terbatas ke atas dan sebarang aÎℝ . Didefinisikan himpunan a + S := {a + s : sÎS} ,maka berlaku sup(a + S) = a + sup(S).
Bukti. Jika diberikan u := sup S , maka x £ u untuk semua xÎS , sehingga a + x £ a +u . Oleh karena itu, a + u merupakan batas atas dari himpunan a + S .
Akibatnya sup(a + S ) £ a + u . Selanjutnya, misalkan v adalah sebarang batas atas a+ S , maka a + x £ v untuk semua xÎS . Akibatnya x  £ v – a untuk semua xÎS , sehingga v – a merupakan batas atas S. Oleh karena itu, u = sup S £ v – a .
Karena v adalah sebarang batas atas a + S , maka dengan mengganti v dengan u =sup S , diperoleh a + u £ sup(a + S ). Di lain pihak diketahui sup(a + S ) £ a + u .
Akibatnya terbukti bahwa sup(a + S ) = a + u = a + sup S .
1. b) Diberikan subset tak kosong S Ì ℝ yang terbatas dan sebarang bilangan real a > 0 . Didefinisikan himpunan aS := {as : sÎS}, maka berlaku inf (aS ) = a inf (S )
Bukti. Tulis u = inf aS dan v = inf S . Akan dibuktikan bahwa u = av . Karena u = infaS , maka u £ as , untuk setiap sÎS . Karena v = inf S , maka v £ s untuk setiap sÎS . Akibatnya av £ as untuk setiap sÎS . Berarti av merupakan batas bawah aS. Karenau batas bawah terbesar aS, maka av £ u .
Karena u £ as untuk setiap sÎS , maka diperoleh  untuk setiap sÎS (sebab a > 0 ). Karena v = inf S , maka  yang berakibat u £ av . Di lain pihak diketahui av £ u . Akibatnya u = av . Jadi, terbukti bahwa inf (aS ) = a inf (S ).
1. Jika A dan B subset tak kosong ℝ dan memenuhi a £ b untuk semua aÎ A dan bÎB , maka
sup A £ inf B .
Bukti. Diambil sebarang bÎB , maka a £ b untuk semua aΠA . Artinya bahwa bmerupakan batas atas A, sehingga sup A £ b . Selanjutnya, karena berlaku untuk semua bÎB , maka sup A merupakan batas bawah B. Akibatnya diperoleh bahwa supA £ inf B,
Baca Juga : Limit Barisan – jebidal.com
Sifat Archimedes
Berikut ini diberikan salah satu sifat yang mengaitkan hubungan antara bilangan real dan bilangan asli. Sifat ini menyatakan bahwa apabila diberikan sebarang bilangan real x, maka selalu dapat ditemukan suatu bilangan asli n yang lebih besar dari x.
2.4.7. Sifat Archimedes. Jika xÎℝ, maka terdapat nÎℕ sedemikian hingga x < n .
Bukti. Ambil sebarang xÎℝ. Andaikan tidak ada nÎℕ sedemikian hingga x < n , maka n £ x , untuk setiap nÎℕ. Dengan kata lain, x merupakan batas atas ℕ . Jadi, ℕÌ ℝ , ℕ ¹ Æ , dan ℕ terbatas ke atas. Menurut aksioma supremum, maka supℕ ada, tulis u = supℕ .
Karena u -1< u , maka terdapat mÎℕ dengan sifat u -1< m . Akibatnya u < m+1 dengan m+1Îℕ. Timbul kontradiksi dengan u = supℕ . Berarti u batas atas ℕ , yaitu ada m+1Îℕ sehingga u < m+1 (u bukan batas atas ℕ ).  Jadi, pengandaian salah, yang benar adalah ada nÎℕ sedemikian hingga x < n .
2.4.8        Akibat Jika , maka inf S = 0
Bukti. Karena S ¹ Æ terbatas ke bawah oleh 0, maka S mempunyau infimum, tulisw:= inf S . Jelas bahwa w ³ 0 . Untuk sebarang e > 0 , menggunakan Sifat Archimedes, terdapat nÎℕ sedemikian hingga  akibatnya oleh karena itu diperoleh bahwa
Akan tetapi karena e > 0 sebarang, maka berdasarkan Teorema 1.1.10 berakibat bahwa w = 0. Terbukti bahwa inf S = 0 .
• Akibat. Jika t > 0 , maka terdapat nt Îℕ sedemikian hingga
Bukti. Karena inf  dan t > 0 , maka t bukan batas bawah himpunan . Akibatnya terdapat nt Îℕ sedemikian hingga
• Akibat Jika y > 0, maka terdapat ny Îℕ sedemikian hingga ny-1< y < ny .
Bukti. Sifat Archimedes menjamin bahwa subset Ey := dari ℕ tidak kosong. Menggunakan Sifat Urutan, Ey mempunyai elemen yang paling kecil, yang dinotasikan dengan ny . Oleh karena itu, ny -1 bukan elemen Ey . Akibatnya diperoleh bahwa ny-1<y<ny .
Eksistensi Bilangan Real dan Densitas Bilangan Rasional di ℝ
Salah satu penggunaan Sifat Supremum adalah dapat digunakan untuk memberikan jaminan eksistensi bilangan-bilangan real. Berikut ini akan ditunjukkan bahwa ada bilangan real positif x sedemikian hingga = 2 .
Teorema 2.4.9. Ada bilangan real positif x sedemikian hingga = 2
Bukti. Dibentuk himpunan  Jelas bahwa S ¹ Æ sebab 0ÎS dan 1ÎS . S terbatas ke atas dengan salah satu batas atasnya adalah 2. Jika t ³ 2 , maka ³ 4 . Jadi, t = 2ÏS . Menggunakan Aksioma Supremum, S Ì ℝ , S ¹ Æ, dan S terbatas ke atas, maka Smempunyai supremum. Namakan x = sup S , dengan xÎℝ. Akan dibuktikan bahwa  = 2 . Andaikan ¹ 2 , maka < 2 atau > 2 .
Kemungkinan I: Untuk < 2 .
Karena
Karena 2-x2> 0 dan 2x +1 > 0 , maka Menurut akibat Sifat Archimedes,
dapat ditemukan nÎℕ sehingga
Akibatnya
Dan
Diperoleh bahwa  yang berarti bahwa x+   . Kontradiksi dengan x= sup S. oleh karena itu tidak mungkin
Kemungkinan II: > 2 .
Karena > 2 , maka 2 > 0 . Perhatikan bahwa
Karena -2 > 0 dan 2x > 0 , maka dipilih mÎℕ sedemikian hingga
Akibatnya
Diperoleh bahwa x –   Bukan elemen S. yaitu  kontradiksi dengan x = sup S. oleh karena itu tdak mngkin . Jadi, pengandaiannya salah, yang benar adalah = 2.
2.4.10 Teorema Densitas  Jika x, yÎℝ dengan x < y , maka ada bilangan rasional qÎℚ sedemikian hingga x < q < y .
Bukti. Dengan tidak mengurangi keumuman (without loss of generality), diambil x >0 . Karena x < y , maka y > 0 dan y –x > 0 . Akibatnya  sehingga dapat dipilih nÎℕsedemikian hingga
Untuk n di di atas, berlaku ny–nx >1, yaitu nx +1< ny . Karena nx > 0 , maka dapat dipilih mÎℕ sehingga
m-1£ nx < m
Bilangan m di atas juga memenuhi m < ny , sebab dari m−1£ nx diperoleh m £ nx+1< ny . Jadi  nx < m < ny .
akibatnya untuk  mempunyai sifat lebih kecil .jadi terdapat bilangan rasional dengan sifat x < q < y . Berikut ini diberikan akibat dari Teorema Densitas, yaitu di antara dua bilangan real pasti dapat ditemukan bilangan irrasional
2.4.11.corollary  Jika x, yÎℝ dengan x < y , maka ada bilangan irrasional r sedemikian hingga x < r < y .
Bukti. Menggunakan Teorema Densitas, ada bilangan real   dan  dengan sifat ada bilangan rasional q dengan sifat   , akibatnya x q  dan  merupakan blangan irasional


Bonus File .pdf  : 
• Bilangan Real
• Supremum dan Infimum
• Pembahasan Soal UTS Pengantar Analisis Real (TA 2014/2015)
• Supremum dan infimum


BAB III
PENUTUP
1. Kesimpulan
Sifat Archimedes. Jika xℝ, maka terdapat nℕ sedemikian hingga x n .
Bukti. Ambil sebarang xℝ. Andaikan tidak ada nℕ sedemikian hingga x n , maka n x , untuk setiap nℕ. Dengan kata lain, x merupakan batas atas ℕ . Jadi,ℕ ℝ , ℕ , dan ℕ terbatas ke atas. Menurut aksioma supremum, maka supℕ ada, tulis u supℕ .
Karena u 1u , maka terdapat mℕ dengan sifat u 1m . Akibatnya um1 dengan m1ℕ. Timbul kontradiksi dengan u supℕ . Berarti u batas atas ℕ , yaitu ada m1ℕ sehingga u m1 (u bukan batas atas ℕ ).  Jadi, pengandaian salah, yang benar adalah ada nℕ sedemikian hingga x n .
Akibat 1.4.5. Jika , maka inf S = 0
Bukti. Karena S terbatas ke bawah oleh 0, maka S mempunyau infimum, tulis w:inf S . Jelas bahwa w 0 . Untuk sebarang 0 , menggunakan Sifat Archimedes, terdapat nℕ sedemikian hingga  akibatnya oleh karena itu diperoleh bahwa
Akan tetapi karena 0 sebarang, maka berdasarkan Teorema 1.1.10 berakibat bahwa w 0. Terbukti bahwa inf S 0 .
Akibat 1.4.6. Jika t 0 , maka terdapat nt ℕ sedemikian hingga
Bukti. Karena inf  dan t 0 , maka t bukan batas bawah himpunan . Akibatnya terdapat nt ℕ sedemikian hingga
Akibat 1.4.7. Jika y 0, maka terdapat ny ℕ sedemikian hingga ny-1< y ny .
Bukti. Sifat Archimedes menjamin bahwa subset Ey := dari ℕ tidak kosong. Menggunakan Sifat Urutan, Ey mempunyai elemen yang paling kecil, yang dinotasikan dengan ny . Oleh karena itu, ny -1 bukan elemen Ey . Akibatnya diperoleh bahwa ny-1<y<ny
1. Saran
Sehubungan dengan hasil penulisan makalah ini, penulis menyarankan kepada para pembaca agar diadakan pengkajian lanjutan yang berjudul sama dengan makalah ini, agar ditemukan pengertian dari hakekat belajar dan pembelajaran yang lebih baik.

Postingan Lainnya;

1. Makalah Hubungan Ibadah Dengan Akhlak
2. Bingung Dan Bingung
3. Makalah Program Pendidikan Luar Sekolah
4. SKRIPSI EFEKTIVITAS PENERAPAN MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE JIGSAW TERHADAP HASIL BELAJAR MATEMATIKA
5. TESIS POLA PENGAMBILAN KEPUTUSAN KEPALA SEKOLAH DI SMPN X
6. Soal Kesadaran Berbangsa dan Bernegara
7. Nama SMK Se-Kabupaten Cirebon
8. Contoh Soal Limit Barisan dan Penyelesaiannya
9. Contoh Soal Anggaran Produksi dan Penyelesaiannya
10. Cara Menambah Bintang Pemain Top Eleven
DAFTAR PUSTAKA
Buku Panduan Analisa Real.
http://itaberbagiilmu.blogspot.com/2011/06/analisis-real-ii.html
http://analisa real,pdf adobe reader
http://www.jebidal.com/